Capitolo 1-Richiami sulle funzioni, insiemi numerici e insiemi di punti

Funzione: Dati 2 insiemi non vuoti X e Y si chiama applicazione o funzione da X a Y una relazione tra i 2 insiemi che ad ogni x appartenente all'insieme X, fa corrispondere uno e un solo y appartenente a Y.
Dominio: Se y è l'immagine di x tramite f, si scrive y=f(x) dove "f" sta a indicare la funzione e l'insieme X è il dominio di essa.
Codominio: è il sottoinsieme proprio o improprio di Y formato dagli elementi che hanno almeno una controimmagine nell'insieme X.

Classificazione funzioni

                                                      /                                                   \
                                           algebriche                                            trascendenti
                          (funzioni letterali, numeriche...)   (funzioni goniometriche,esponenziali e logaritmiche)
                        /                      |                        \
razionali intere            razionali fratte           irrazionali

Funzione pari: Si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y e se f(-x)=f(x)
Funzione dispari: Si dice dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine e se f(-x)=-f(x)
Funzione crescente: Una funzione si dice strettamente crescente nel suo dominio D se:
 x1<x2 ==> f(x1)<f(x2)

Funzione crescente: Una funzione si dice strettamente decrescente nel suo dominio D se:
 x1<x2 ==> f(x1)>f(x2)
Funzione monotona: Quando la funzione è sempre crescente o decrescente in senso stretto.
Funzione costante: x1,x2   f(x1)=f(x2)
Funzione iniettiva: x1=x2 ==> f(x1)=f(x2)
Funzione suriettiva: Una funzione "f" da X a Y si dice suriettiva se il suo codominio coincide con Y.
Funzione biunivoca: Quando la funzione è sia iniettiva che suriettiva.
Funzione periodica: Una funzione si dice periodica di periodo T se vale: f(x+kT)=f(x) dove k è un numero intero e T deve essere un numero positivo il più piccolo possibile per cui vale l'uguaglianza.
Insieme numerico: Un insieme i cui elementi siano numeri.
Maggiorante:Preso un sottoinsieme di un insieme più grande, un maggiorante è un numero maggiore di tutti i numeri del sottoinsieme.
Estremo superiore: è il più piccolo maggiorante.
Insieme superiormente limitato: è un insieme che ammette l'estremo superiore.

Per dimostrare che un numero "s" è l'estremo superiore di un determinato insieme (E) di numeri reali, si devono far valere 2 proprietà:
- s risulti un maggiorante effettivo dell'insieme E(x<=s)
- Comunque si prenda un numero più piccolo di "s" a piacere, non deve essere un maggiorante, cioè deve esistere almeno un elemento di E maggiore di quel numero preso.
Insieme completo: Particolare insieme che non contiene buchi al suo interno.
Intorno di un numero: Qualsiasi sottoinsieme [a;b] contenente il numero stesso.
Punto di accumulazione: Dato un punto c, che può anche non appartenere all'insieme, è un punto di accumulazione o limite di un insieme lineare se, in ogni intorno di c, esistono infiniti punti dell'insieme.
Il numero 0 è un particolare numero, in quanto è sempre un punto di accumulazione.
Massimo assoluto di una funzione: è il punto "massimo" o più alto che il grafico della funzione può assumere.
Minimo assoluto di una funzione: è il punto "minimo" o più basso che il grafico della funzione può assumere.